Question

16．已知空間單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{4}{5}$，若空間向量$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$+z$\overrightarrow{{e}_{3}}$滿足：$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=4，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=3，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=5，則x+y+z=$\frac{208}{25}$，|$\overrightarrow{m}$|=$\frac{\sqrt{15874}}{25}$．

Answer 1

分析 由已和條件列出方程組，利用向量垂直的性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：∵空間單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$⊥$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=$\frac{4}{5}$，
空間向量$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$+z$\overrightarrow{{e}_{3}}$滿足：$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=4，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=3，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{e}_{3}}$=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}+z\overrightarrow{{e}_{3}}）•\overrightarrow{{e}_{1}}=4}\\{（x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}+z\overrightarrow{{e}_{3}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}=3}\\{（x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}+z\overrightarrow{{e}_{3}}）•\overrightarrow{{e}_{3}}=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{5}y=4}\\{y=3}\\{\frac{4}{5}x+z=5}\end{array}\right.$，解得$x=\frac{8}{5}，y=3，z=\frac{93}{25}$，
∴x+y+z=$\frac{8}{5}+3+\frac{93}{25}$=$\frac{208}{25}$．
|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{\frac{64}{25}+9+\frac{8649}{625}}$=$\frac{\sqrt{15874}}{25}$．
故答案為：$\frac{208}{25}$，$\frac{\sqrt{15874}}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查代數(shù)式的值的求法，考查向量的模的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．