Question

8．在半徑為R的球內(nèi)放入5個(gè)球，其中有4個(gè)球大小相等，兩兩相外切且均與大球相內(nèi)切，另一個(gè)小球與這四個(gè)球均相外切，則這個(gè)小球半徑為（　�。�

• A． （3-2$\sqrt{2}$）R
• B． （4-2$\sqrt{3}$）R
• C． （5-2$\sqrt{6}$）R
• D． （6-2$\sqrt{7}$）R

Answer 1

分析 我們易將這四個(gè)球的球心連接成一個(gè)正四面體，并根據(jù)四球外切，得到四面體的棱長(zhǎng)為2r，正四面體的外接球半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$r，由于這四個(gè)球之間有一個(gè)小球和這四個(gè)球都外切，則小球的球心與四面體的球體重合，進(jìn)而再由小球與其它四球外切，球心距（即正四面體外接球半徑）等于大球半徑與小球半徑之和，得到答案．

解答 解：由已知中四個(gè)半徑都是r的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，
然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，
連接四個(gè)球的球心，得到一個(gè)棱長(zhǎng)為2r的正四面體
則該正四面體的外接球半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$r
若這四個(gè)球之間有一個(gè)小球和這四個(gè)球都外切，則這個(gè)小球的半徑為r₁=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-1）r，
另有一個(gè)更大的球與這四個(gè)球都內(nèi)切，更大球的R=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1）r．
∴r₁=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-1）$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}+1}$R=（5-2$\sqrt{6}$）R，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球的結(jié)構(gòu)特征，其中根據(jù)已知條件求出四個(gè)半徑為1的球球心連接后所形成的正四面體的棱長(zhǎng)及外接球半徑的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．