Question

7．已知x＞9，函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$的最小值是5．

Answer 1

分析 將函數(shù)化為y=$\sqrt{x}$-3+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$+3，由x＞9，可得$\sqrt{x}$-3＞0，運(yùn)用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：由函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$，
得y=$\sqrt{x}$-3+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$+3，
∵x＞9，∴$\sqrt{x}$-3＞0，
∴由基本不等式得y=$\sqrt{x}$-3+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$+3
≥2$\sqrt{（\sqrt{x}-3）•\frac{1}{\sqrt{x}-3}}$+3=2+3=5，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{x}$-3=$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$，即$\sqrt{x}$-3=1，即x=16時(shí)取等號(hào)．
故最小值為5，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用：求最值，利用配湊法將條件轉(zhuǎn)化為不等式成立的條件是解決本題的關(guān)鍵．