Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）$（{ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜0}）$的圖象如圖所示．
（Ⅰ） 求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ） 當x∈[-5，-2]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 求出函數(shù)的周期，求出ω，利用特殊點，求解φ，即可求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ） 借助函數(shù)的圖象之間求解當x∈[-5，-2]時，函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由圖象可知，函數(shù)的周期為T=6，
$ω=\frac{2π}{6}=\frac{π}{3}$．…（2分）
又f（x）的圖象過點$（{\frac{1}{2}，0}）$，所以$2sin（{\frac{π}{3}×\frac{1}{2}+φ}）=0$
所以$\frac{π}{3}×\frac{1}{2}+φ=2kπ$，即$φ=2kπ-\frac{π}{6}，k∈Z$，又因為$-\frac{π}{2}＜φ＜0$，所以$φ=-\frac{π}{6}$，…（4分）
故所求函數(shù)的解析式是$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}}）$．…（5分）
（Ⅱ） 因為函數(shù)$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}}）$的周期是T=6，所以求x∈[-5，-2]時函數(shù)f（x）的最大值和最小值就是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值和最小值．…（8分）
由圖象可知，當x=2時，函數(shù)的最大值是$f（2）=2sin（{\frac{π}{3}×2-\frac{π}{6}}）=2$；…（10分）
當x=4時，函數(shù)的最小值是$f（4）=2sin（{\frac{π}{3}×4-\frac{π}{6}}）=-1$．…（12分）．

點評 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的最值以及函數(shù)的圖象的應(yīng)用，本題也可以直接求函數(shù)$f（x）=2sin（{\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}}）$在區(qū)間[-5，-2]上的最大值和最小值．