Question

17．如圖，底面為正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，D為線段B₁C₁中點(diǎn)．
（Ⅰ） 證明：AC₁∥平面A₁BD；
（Ⅱ） 在棱CC₁上是否存在一點(diǎn)E，使得平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁？若存在，請找出點(diǎn)E所在位置，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AB₁，交A₁B于點(diǎn)F，連接DF，由DF∥AC₁，能證明AC₁∥平面A₁BD．
（Ⅱ）存在點(diǎn)E，為CC₁中點(diǎn)，使得平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁．
證法1：推導(dǎo)出EF⊥A₁B，EF⊥AB₁，從而EF⊥平面A₁ABB₁，由此能證明平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁．
證法2：取AB中點(diǎn)G，連接EF，CG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出四邊形CEFG為平行四邊形，從而CG∥EF，進(jìn)而CG⊥平面A₁ABB₁，由此能證明平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁．

解答 證明：（Ⅰ）連接AB₁，交A₁B于點(diǎn)F，連接DF，
△AB₁C₁中，D，F(xiàn)分別為A₁B，B₁C₁中點(diǎn)，
所以DF∥AC₁．…（2分）
因?yàn)镈F?平面A₁BD，AC₁?平面A₁BD，
所以AC₁∥平面A₁BD．…（4分）
解：（Ⅱ）存在點(diǎn)E，為CC₁中點(diǎn)，使得平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁…（6分）
證明如下：
方法1：△A₁BE中，因?yàn)锳₁E=BE，且F為A₁B中點(diǎn)，所以，EF⊥A₁B．△AB₁E中，同理有EF⊥AB₁．…（8分）
因?yàn)锳₁B∩AB₁=F，A₁B，AB₁?平面A₁ABB₁，所以EF⊥平面A₁ABB₁…（10分）
又EF?平面A₁BE，所以，平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁…（12分）
方法2：取AB中點(diǎn)G，連接EF，CG，F(xiàn)G．
因?yàn)镕G∥AA₁，且，CE∥AA₁，且$CE=\frac{1}{2}A{A_1}$，
所以FG∥CE，且FG=CE，
所以，四邊形CEFG為平行四邊形，所以CG∥EF…（7分）
因?yàn)锳A₁⊥平面ABC，CG?平面ABC，所以CG⊥AA₁．
又CG⊥AB，且AA₁∩AB=A，AA₁，AB?平面A₁ABB₁，
所以，CG⊥平面A₁ABB₁…（10分）
因?yàn)镃G∥EF，所以EF⊥平面A₁ABB₁…（11分）
又EF?平面A₁BE，所以，平面A₁BE⊥平面A₁ABB₁…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查滿足面面垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．