Question

19．某工廠對(duì)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：

產(chǎn)量x（千件）	2	3	5	6
成本y（萬(wàn)元）	7	8	9	12

經(jīng)過(guò)分析，知道產(chǎn)量x和成本y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．
（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)產(chǎn)量為10千件時(shí)的成本．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中的數(shù)據(jù)分別計(jì)算$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i，$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$，$\stackrel{∧}$，$\stackrel{∧}{a}$，即可寫(xiě)出線性回歸方程；
（Ⅱ）由線性回歸方程，計(jì)算x=10時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由表中的數(shù)據(jù)得$\overline{x}=\frac{2+3+5+6}{4}=4$，（1分）
$\overline{y}=\frac{7+8+9+12}{4}=9$，（2分）
$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}=2×7+3×8+5×9+6×12=155$，（3分）
$\sum_{i=1}^4{x_i^2}={2^2}+{3^2}+{5^2}+{6^2}=74$，（4分）
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}-4\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{\bar x}^2}}}}=\frac{155-4×4×9}{{74-4×{4^2}}}=\frac{11}{10}=1.1$，（6分）
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=9-1.1×4=4.6$，（7分）
所以所求線性回歸方程為$\hat y=1.1x+4.6$；（8分）
（Ⅱ）由（1）得，當(dāng)x=10時(shí)，$\hat y=1.1×10+4.6=15.6$，
即產(chǎn)量為10千件時(shí)，成本約為15.6萬(wàn)元． （10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求線性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用線性回歸方程預(yù)測(cè)生產(chǎn)問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．