Question

14．如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，若已知AB=3，AD=4，PA=1．
（Ⅰ）求點(diǎn)P到BD的距離；
（Ⅱ）求平面PBD與平面ABCD夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{BD}$的夾角∠PBD，則點(diǎn)P到BD的距離為PB•sin∠PBD；
（II）求出兩平面的法向量，則法向量的夾角或其補(bǔ)角為所求二面角．

解答 解：（Ⅰ）如圖，分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），B（3，0，0），D（0，4，0）．
∴$\overrightarrow{BP}$=（-3，0，1），$\overrightarrow{BD}$=（-3，4，0），
∴cos＜$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{9}{\sqrt{10}•5}$=$\frac{9\sqrt{10}}{50}$，
即cos∠PBD=$\frac{9\sqrt{10}}{50}$，
∴sin∠PBD=$\frac{13\sqrt{10}}{50}$．
∴P到BD的距離為PB•sin∠PBD=$\frac{13}{5}$．
（Ⅱ）設(shè)平面PBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{3x-z=0}\\{-3x+4y=0}\end{array}}\right.$，令x=4得$\overrightarrow{n}$=（4，3，12），
∵PA⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1）為平面ABCD的一個法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{12}{13•1}$=$\frac{12}{13}$．
∴平面PBD與平面ABCD夾角的余弦值為$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間向量與空間距離，空間角的計(jì)算，屬于中檔題．