Question

5．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinC=csinB．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC邊上中線AD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，即可得解△ABC為等腰三角形．
（Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB，在△ABD中，利用余弦定理可求AD的值．

解答 解：（Ⅰ）∵asinC=csinB．
∴利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，
∴△ABC為等腰三角形．
（Ⅱ）如圖所示：∵BC=AC，B=30°，BC=2，
∴C=120°，BD=1，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}-2•AC•BC•cosC}$=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}-2•AB•BD•cosB}$=$\sqrt{12+1-2×2\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形內(nèi)角和定理的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．