Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$（a≠0）．
（1）已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，求實數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求證：對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（x）≥3-x．
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），由f′（1）=2-3a求得實數(shù)a的值；
（2）a=1時，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，定義域是x＞0，設(shè)F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-3，由F（x）_min=F（1）=0，能夠證明f（x）≥3-x；
（3）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對a＞0、a＜0分類求出原函數(shù)的單調(diào)期間．

解答 （1）解：由f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$，得${f}^{′}（x）=\frac{a}{x}-\frac{2{a}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=a-2a²=2-3a，解得：a=1；
（2）證明：當(dāng)a=1時，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，定義域是x＞0，
設(shè)F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$-3，
由F′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=0，得x²+x-2=0，解得x=1，x=-2（舍去）．
當(dāng)F′（x）＞0時，x＞1；當(dāng)F′（x）=0時，x=1；當(dāng)F′（x）＜0時，x＞1．
∴F（x）_min=F（1）=0+1+2-3=0，
∴F（x）≥0，則f（x）≥3-x；
（3）解：∵f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$（a≠0），
∴${f}^{′}（x）=\frac{a}{x}-\frac{2{a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0得，x＞2a；由f′（x）＜0得，x＜2a．
∴f（x）的增區(qū)間是（2a，+∞），減區(qū)間是（0，2a）．
②當(dāng)a＜0時，f′（x）＜0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，分類討論與合理轉(zhuǎn)化是解答此題的關(guān)鍵，是中檔題．