Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=1nx+m．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$+x•g（x）在（0，+∞）上的極值；
（2）若m=2，求證：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x）+$\frac{1}{10}$．
（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.693，ln3=1.099）

Answer 1

分析 （1）求得F（x）的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)大于0可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值；
（2）令φ（x）=g（x）-f（x）=e^x-lnx-2，利用導(dǎo)數(shù)表示出φ（x）的最小值，只需說明最小值大于0.1即可，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得最小值的點(diǎn)，由單調(diào)性即可得到證明．

解答 解：（1）當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$+x•g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+x（lnx-1），
F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+lnx，
F″（x）=$\frac{{e}^{x}[（x-1）^{2}+1]}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{x}$＞0恒成立，
即有F′（x）在x＞0遞增，F(xiàn)′（x）=0只有一解x=1．
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減．
即有x=1處取得極小值，且為e-1，無(wú)極大值；
（2）證明：令φ（x）=f（x）-g（x），
則φ（x）=e^x-lnx-2，φ′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
而[φ′（x）]′=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴φ′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
設(shè)φ′（x）=0的根為x=t，則e^t=$\frac{1}{t}$，即t=e^-t．
當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上單調(diào)遞增．
故φ（x）_min=φ（t）=e^t-lnt-2=e^t-lne^-t-2=e^t+t-2．
由φ′（1）=e-1＞0，φ′（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-2＜0，得t∈（$\frac{1}{2}$，1），
∵φ（t）=e^t+t-2在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）_min=φ（t）＞φ（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$-2，
由$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$-2＞$\frac{1}{10}$?$\sqrt{e}$＞1.6?e＞2.56成立，
即有當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x）+$\frac{1}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力．注意認(rèn)真體會(huì)二次求導(dǎo)的應(yīng)用．