Question

11．（1）記函數(shù)φ（x）=ax²-2x+1+ln（x+1）的圖象為C，l為曲線C在點(diǎn)P（0，1）的切線，若存在a≥$\frac{1}{2}$，使直線l與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求滿足條件的所有a的值；
（2）判斷xsinx=1（x∈（0，5））實(shí)根的個(gè)數(shù)；
（3）完成填空

	用方程表述	用函數(shù)零點(diǎn)表述
若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在（a，b）內(nèi)有交點(diǎn)

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，將切線l與曲線y=f（x）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．令h（x）=ax²-x+ln（x+1），求出h'（x），然后討論a與$\frac{1}{2}$的大小，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出滿足使方程h（x）=0有一解x=0的a的取值范圍即可．
（2）由xsinx=1得sinx=$\frac{1}{x}$（x∈（0，5）），作出計(jì)算y=sinx和t=$\frac{1}{x}$，在（0，5）上的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)函數(shù)與方程，與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），
∴f′（x）=$\frac{{2a{x^2}+（2a-2）x-1}}{x+1}$，
∴f′（0）=-1，切點(diǎn)P（0，1），
∴切線l的斜率為-1，即切線l的方程：y=-x+1；
切線l與曲線y=f（x）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1，
即ax²-x+ln（x+1）=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），∵h(yuǎn)（0）=0
∴方程h（x）=0有一解x=0
h'（x）=2ax-1+$\frac{1}{x+1}=\frac{{2a{x^2}+（2a-1）x}}{x+1}=\frac{{2ax[{x-（\frac{1}{2a}-1）}]}}{x+1}$
①若a=$\frac{1}{2}$，則h'（x）=$\frac{x^2}{x+1}$≥0（x＞-1），
∴h（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解；
②若0＜a＜$\frac{1}{2}$，則h′（x）=0兩根x₁=0，x₂=$\frac{1}{2a}$-1＞0

x	（-1，0）	0	（0，$\frac{1}{2a}$-1）	$\frac{1}{2a}$-1	（$\frac{1}{2a}$-1，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	遞增	極大值0	遞減	極小值	遞增

∴$h（\frac{1}{2a}-1）$＜h（0）=0，而$h（\frac{1}{a}）＞0$
∴方程h（x）=0在$（\frac{1}{2a}-1，+∞）$
上還有一解，則h（x）=0解不唯一；
③若a＞$\frac{1}{2}$，則h′（x）=0兩根x₁=0，x₂=$\frac{1}{2a}$-1∈（-1，0）
同理可得方程h（x）=0在$（-1，\frac{1}{2a}-1）$上還有一解，
則h（x）=0解不唯一
綜上，當(dāng)切線l與曲線y=f（x）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a=$\frac{1}{2}$．
（2）由xsinx=1得sinx=$\frac{1}{x}$（x∈（0，5）），
作出計(jì)算y=sinx和t=$\frac{1}{x}$，在（0，5）上的圖象如圖：
由圖象知兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，即xsinx=1（x∈（0，5））實(shí)根的個(gè)數(shù)有兩個(gè)．
（3）若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在（a，b）內(nèi)有交點(diǎn)，
則等價(jià)為f（x）=g（x）在（a，b）內(nèi)有解，
即函數(shù)y=f（x）-g（x）在（a，b）內(nèi)存在零點(diǎn)．

	用方程表述	用函數(shù)零點(diǎn)表述
若函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在（a，b）內(nèi)有交點(diǎn)	f（x）=g（x）在（a，b）內(nèi)有解	函數(shù)y=f（x）-g（x）在（a，b）內(nèi)存在零點(diǎn)

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，以及計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．