用方程表述 | 用函數(shù)零點(diǎn)表述 | |
若函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象在(a,b)內(nèi)有交點(diǎn) |
分析 (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù),從而求出切線的斜率,再用點(diǎn)斜式寫出切線方程,將切線l與曲線y=f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1即ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.令h(x)=ax2-x+ln(x+1),求出h'(x),然后討論a與$\frac{1}{2}$的大小,研究函數(shù)的單調(diào)性,求出滿足使方程h(x)=0有一解x=0的a的取值范圍即可.
(2)由xsinx=1得sinx=$\frac{1}{x}$(x∈(0,5)),作出計(jì)算y=sinx和t=$\frac{1}{x}$,在(0,5)上的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.
(3)根據(jù)函數(shù)與方程,與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
解答 解:(1)∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),
∴f′(x)=$\frac{{2a{x^2}+(2a-2)x-1}}{x+1}$,
∴f′(0)=-1,切點(diǎn)P(0,1),
∴切線l的斜率為-1,即切線l的方程:y=-x+1;
切線l與曲線y=f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1,
即ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
令h(x)=ax2-x+ln(x+1),∵h(yuǎn)(0)=0
∴方程h(x)=0有一解x=0
h'(x)=2ax-1+$\frac{1}{x+1}=\frac{{2a{x^2}+(2a-1)x}}{x+1}=\frac{{2ax[{x-(\frac{1}{2a}-1)}]}}{x+1}$
①若a=$\frac{1}{2}$,則h'(x)=$\frac{x^2}{x+1}$≥0(x>-1),
∴h(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴x=0是方程h(x)=0的唯一解;
②若0<a<$\frac{1}{2}$,則h′(x)=0兩根x1=0,x2=$\frac{1}{2a}$-1>0
x | (-1,0) | 0 | (0,$\frac{1}{2a}$-1) | $\frac{1}{2a}$-1 | ($\frac{1}{2a}$-1,+∞) |
h′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
h(x) | 遞增 | 極大值0 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
用方程表述 | 用函數(shù)零點(diǎn)表述 | |
若函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象在(a,b)內(nèi)有交點(diǎn) | f(x)=g(x)在(a,b)內(nèi)有解 | 函數(shù)y=f(x)-g(x)在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn) |
點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,以及計(jì)算能力,綜合性較強(qiáng),有一定的難度.
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