11.(1)記函數(shù)φ(x)=ax2-2x+1+ln(x+1)的圖象為C,l為曲線C在點(diǎn)P(0,1)的切線,若存在a≥$\frac{1}{2}$,使直線l與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求滿足條件的所有a的值;
(2)判斷xsinx=1(x∈(0,5))實(shí)根的個(gè)數(shù);
(3)完成填空
用方程表述用函數(shù)零點(diǎn)表述
若函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象在(a,b)內(nèi)有交點(diǎn)

分析 (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù),從而求出切線的斜率,再用點(diǎn)斜式寫出切線方程,將切線l與曲線y=f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1即ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.令h(x)=ax2-x+ln(x+1),求出h'(x),然后討論a與$\frac{1}{2}$的大小,研究函數(shù)的單調(diào)性,求出滿足使方程h(x)=0有一解x=0的a的取值范圍即可.
(2)由xsinx=1得sinx=$\frac{1}{x}$(x∈(0,5)),作出計(jì)算y=sinx和t=$\frac{1}{x}$,在(0,5)上的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.
(3)根據(jù)函數(shù)與方程,與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),
∴f′(x)=$\frac{{2a{x^2}+(2a-2)x-1}}{x+1}$,
∴f′(0)=-1,切點(diǎn)P(0,1),
∴切線l的斜率為-1,即切線l的方程:y=-x+1;
切線l與曲線y=f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1,
即ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
令h(x)=ax2-x+ln(x+1),∵h(yuǎn)(0)=0
∴方程h(x)=0有一解x=0
h'(x)=2ax-1+$\frac{1}{x+1}=\frac{{2a{x^2}+(2a-1)x}}{x+1}=\frac{{2ax[{x-(\frac{1}{2a}-1)}]}}{x+1}$
①若a=$\frac{1}{2}$,則h'(x)=$\frac{x^2}{x+1}$≥0(x>-1),
∴h(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴x=0是方程h(x)=0的唯一解;
②若0<a<$\frac{1}{2}$,則h′(x)=0兩根x1=0,x2=$\frac{1}{2a}$-1>0

 x (-1,0)(0,$\frac{1}{2a}$-1) $\frac{1}{2a}$-1 ($\frac{1}{2a}$-1,+∞)
 h′(x)+ 0- 0+
 h(x) 遞增 極大值0遞減  極小值 遞增
∴$h(\frac{1}{2a}-1)$<h(0)=0,而$h(\frac{1}{a})>0$
∴方程h(x)=0在$(\frac{1}{2a}-1,+∞)$
上還有一解,則h(x)=0解不唯一;
③若a>$\frac{1}{2}$,則h′(x)=0兩根x1=0,x2=$\frac{1}{2a}$-1∈(-1,0)
同理可得方程h(x)=0在$(-1,\frac{1}{2a}-1)$上還有一解,
則h(x)=0解不唯一
綜上,當(dāng)切線l與曲線y=f(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),a=$\frac{1}{2}$.
(2)由xsinx=1得sinx=$\frac{1}{x}$(x∈(0,5)),
作出計(jì)算y=sinx和t=$\frac{1}{x}$,在(0,5)上的圖象如圖:
由圖象知兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),即xsinx=1(x∈(0,5))實(shí)根的個(gè)數(shù)有兩個(gè).
(3)若函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象在(a,b)內(nèi)有交點(diǎn),
則等價(jià)為f(x)=g(x)在(a,b)內(nèi)有解,
即函數(shù)y=f(x)-g(x)在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).
用方程表述用函數(shù)零點(diǎn)表述
若函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象在(a,b)內(nèi)有交點(diǎn)f(x)=g(x)在(a,b)內(nèi)有解函數(shù)y=f(x)-g(x)在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,以及計(jì)算能力,綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知$\overrightarrow{a}$=(3,4),$\overrightarrow$=(4,3),$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$,且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$,|$\overrightarrow{c}$|=1,求實(shí)數(shù)x和y的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.如圖,直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F且分別交拋物線及其準(zhǔn)線于A,B,C,若$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,則|AB|=5.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.已知α、β、γ是三個(gè)平面,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c
(1)若a∩b=O,求證:a、b、c三線共點(diǎn);
(2)若a∥b,試判斷直線a與直線c的位置關(guān)系,并證明你的判斷.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$.
(1)求證:函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù);
(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.一個(gè)擺球在不計(jì)空氣阻力的情況下,擺球擺動(dòng)的角度θ(-$\frac{π}{2}$<θ<$\frac{π}{2}$)與時(shí)間t的函數(shù)滿足:θ=3sint.
(1)t=0時(shí),角θ是多少?
(2)擺球擺動(dòng)的周期是多少?
(3)擺球完成5次完整擺動(dòng)共需多少時(shí)間?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.已知方程x2+2x-a=0在(0,1)內(nèi)有解,則a的取值范圍是(0,3).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.求值:sin17°cos13°+sin73°sin167°=$\frac{1}{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.方程$2sin(2x-\frac{π}{6})=1$在區(qū)間(0,π)內(nèi)的解為$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案