Question

（1）找出一個(gè)等比數(shù)列，使得1，，4為其中的三項(xiàng)，并指出分別是的第幾項(xiàng)；

（2）證明：為無(wú)理數(shù)；

（3）證明：1，，4不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

Answer 1

解答】：（1）取首項(xiàng)為1，公比為，則，    ……………………2分

則．                                ……………………4分

（2）證明：假設(shè)是有理數(shù)，則存在互質(zhì)整數(shù)，使得，………………5分

則，所以為偶數(shù)，                                ……………………7分

設(shè)，為整數(shù)，則，所以也為偶數(shù)，

則有公約數(shù)2，這與互質(zhì)相矛盾，                     ……………………9分

所以假設(shè)不成立，所以是有理數(shù)．                        ……………………10分

（3）證明：假設(shè)，，4是同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，

且分別為第項(xiàng)且互不相等，                    ……………………11分

設(shè)公差為，顯然，則，，

消去得，，                             ……………………13分

由，，都為整數(shù)，所以為有理數(shù)，

由（2）得是無(wú)理數(shù)，所以等式不可能成立，               ……………………15分

所以假設(shè)不成立，即1，，4不可能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)． …………………16分