Question

6．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=2a_n-n-2．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）求證：{a_n+1}是等比數(shù)列，并求a_n的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)s_n=2a_n-n-2，令n=1，2，3，4代入式子分別求值即可；
（2）利用“當n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1”化簡，再由等比數(shù)列的定義證明，利用等比數(shù)列的通項公式求出a_n的表達式．

解答 解：（1）由題意得，S_n=2a_n-n-2，
令n=1可得a₁=2a₁-1-2，解得a₁=3，
令n=2可得a₁+a₂=2a₂-2-2，解得a₂=7，
令n=3可得a₁+a₂+a₃=2a₃-3-2，解得a₃=15，
令n=3可得a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-4-2，解得a₄=31；
證明：（2）由題意得，S_n=2a_n-n-2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-2-[2a_n-1-（n-1）-2]=2a_n-2a_n-1-1，
則a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
所以$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}$=2，且a₁+1=4，
所以數(shù)列{a_n+1}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則a_n+1=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，即a_n=2ⁿ⁺¹-1．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式，以及“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”的應用，屬于中檔題．