2．已知正四面體的頂點(diǎn)都在表面積為36π的球面上，則此正四面體體積為8$\sqrt{3}$．

分析 畫出幾何圖形，求出球的半徑，可得正方體的棱長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，正方體的體積為24$\sqrt{3}$，即可求得正四面體體積．

解答 解：正四面體內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個(gè)正方體內(nèi)接于球
設(shè)正方體為ABCD-A1B1C1D1，則正四面體為ACB1D1
設(shè)球半徑為R，則4πR2=36π，∴R=3
∴AC1=6，∴正方體的棱長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，正方體的體積為24$\sqrt{3}$，
∴此正四面體體積為24$\sqrt{3}$-4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
故答案為：8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四面體與正方體的關(guān)系，在幾何解題中，往往相互聯(lián)系，本題中采用轉(zhuǎn)化思想，把正四面體的棱長(zhǎng)與正方體的棱長(zhǎng)，外接球的直徑相結(jié)合是關(guān)鍵．

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