Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+2a+3，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=mx-2m，m∈R，當(dāng)a=0時(shí)，?x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，由此求得a的范圍；
（2）求出a=0時(shí)函數(shù)f（x）的值域A，然后分m＞0和m＜0求出函數(shù)g（x）的值域B，由題意可得A⊆B，然后利用兩集合端點(diǎn)值間的關(guān)系列不等式組得答案．

解答 解：（1）由已知得，$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+4+2a+3≥0}\\{1-4+2a+3≤0}\end{array}\right.$，解得-4≤a≤0；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，4]上的值域?yàn)锳=[-1，3]．
當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)g（x）在[1，4]上的值域B=[-m，2m]．
當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)g（x）在[1，4]上的值域B=[2m，-m]．
由已知可得A⊆B，
∴當(dāng)m＞0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{-m≤-1}\\{2m≥3}\end{array}\right.$，解得m$≥\frac{3}{2}$；
當(dāng)m＜0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{2m≤-1}\\{-m≥3}\end{array}\right.$，解得m≤-3．
綜上可知，m$≥\frac{3}{2}$或m≤-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．