Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，DM⊥PC，垂足為M．
（1）求證：BD⊥平面PAC．
（2）求證：平面MBD⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）證明BD垂直于平面PAC中兩條相交直線，即可證明BD⊥平面PAC．
（2）證明PC⊥平面DBM，即可證明平面MBD⊥平面PCD．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，
∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（2）由（1）知BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BD⊥PC，
∵DM⊥PC，BD∩DM=D，
∴PC⊥平面DBM，
∵PC?平面PDC，
∴平面MBD⊥平面PCD．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確證明線面垂直是關(guān)鍵．