Question

20．已知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，過橢圓上一點(diǎn)P（2，1）作切線交y軸于N，過P的另一條直線交y軸于M，若△PMN是以MN為底邊的等腰三角形，則直線PM的方程為（　�。�

• A． y=$\frac{3}{2}x-2$
• B． y=$\frac{1}{2}x$
• C． y=-2x+5
• D． y=$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)點(diǎn)P（2，1）作切線PN，設(shè)切線方程為：y-1=k（x-2），與橢圓方程聯(lián)立可得（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-8=0，令△=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．可得切線PN的方程為：y=-$\frac{1}{2}$x+2，可得N坐標(biāo)，即可得出M的坐標(biāo)，可得直線PM的方程．

解答 解：如圖所示，
設(shè)點(diǎn)P（2，1）作切線PN，設(shè)切線方程為：y-1=k（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化為（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-8=0，
∵△=64k²（1-2k）²-4（1+4k²）[4（1-2k）²-8]=0，
化為（2k+1）²=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴切線PN的方程為：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=0，解得y=2，
∴N（0，2）．
過點(diǎn)P作PD⊥y軸，垂足為D（0，1）．
∵△PMN是以MN為底邊的等腰三角形，
∴N（0，0），即與原點(diǎn)O重合．
∴直線PM的方程為：$y=\frac{1}{2}x$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、橢圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直線的方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．