Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{x+1}，x∈[{-3，-2}]$
（1）求證：f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)；
（2）求f（x）得最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x₁＜x₂∈[-3，-2]，作差判斷f（x₁）＜f（x₂），可得：f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）得最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{x+1}，x∈[{-3，-2}]$
設(shè)x₁＜x₂∈[-3，-2]，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＜0，x₂+1＜0，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=2-\frac{2}{{x}_{1}+1}-2+\frac{2}{{x}_{2}+1}=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)；
（2）由（1）中f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)，
∴當x=-3時，f（x）_min=f（-3）=3，
當x=-2時，f（x）_max=f（-2）=4．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的最值，難度中檔．