Question

9．若x，y＞0，且x+2y=1，則（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{4y}$）的最小值是（　　）

• A． $\frac{25}{2}$
• B． $\frac{25}{4}$
• C． $\frac{25}{8}$
• D． $\frac{25}{16}$

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可求出最小值．

解答 解：（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{4y}$）=xy+$\frac{x}{4y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{1}{4xy}$≥xy+$\frac{1}{4xy}$+2$\sqrt{\frac{x}{4y}•\frac{y}{x}}$=xy+$\frac{1}{4xy}$+1當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{x=2y}\end{array}\right.$，即x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{4}$取等號(hào)，
∵1=x+2y≥2$\sqrt{2xy}$，
∴0＜xy≤$\frac{1}{8}$，
設(shè)xy=t，則0＜t≤$\frac{1}{8}$，
令f（t）=t+$\frac{1}{4t}$+1，
f′（t）=1-$\frac{1}{4{t}^{2}}$＜0，在（0，$\frac{1}{8}$]，
則函數(shù)f（t）在（0，$\frac{1}{8}$]為減函數(shù)，
∴f（t）_min=f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{8}$+2+1=$\frac{25}{8}$，
故（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{4y}$）的最小值是$\frac{25}{8}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性求最值問題，以及換元法的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．