Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{-{2^x}+m}}{{{2^{x+1}}+n}}$，（其中m、n為參數(shù)）
（1）當(dāng)m=n=1時(shí)，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）如果f（x）是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m、n的值；
（3）已知m＞0，n＞0，在（2）的條件下，求不等式$f（f（x））+f（\frac{1}{4}）＜0$的解集．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=n=1時(shí)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）如果f（x）是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立了方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)m、n的值；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+1}}$，
∴$f（1）=\frac{-2+1}{{{2^2}+1}}=-\frac{1}{5}$，$f（-1）=\frac{{-\frac{1}{2}+1}}{2}=\frac{1}{4}$，
∵f（-1）≠-f（1），∴f（x）不是奇函數(shù)；                       …（4分）
（2）∵f（x）是奇函數(shù)時(shí)∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{{-{2^{-x}}+m}}{{{2^{-x+1}}+n}}=-\frac{{-{2^x}+m}}{{{2^{x+1}}+n}}$對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x成立．
化簡(jiǎn)整理得關(guān)于x的恒等式（2m-n）•2^2x+（2mn-4）•2^x+（2m-n）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}2m-n=0\\ 2mn-4=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ n=-2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=2\end{array}\right.$．                           …10分
（注：少一解扣2分）
（3）由題意得m=1，n=2，
∴$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+2}}=\frac{1}{2}（-1+\frac{2}{{{2^x}+1}}）$，易判斷f（x）在R上遞減，
∵$f（f（x））+f（\frac{1}{4}）＜0$，
∴$f（f（x））＜-f（\frac{1}{4}）=f（-\frac{1}{4}）$，
∴$f（x）＞-\frac{1}{4}$，
∴2^x＜3，
∴x＜log₂3，
即f（x）＞0的解集為（-∞，log₂3）…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷和應(yīng)用以及不等式的求解，根據(jù)定義法是解決本題的關(guān)鍵．