Question

1．已知橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，原點O到橢圓E的右頂點與上頂點所在直線的距離為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過橢圓E右焦點F的直線l與橢圓E相交于M，N兩點（M，N均在y軸右側(cè)），點A（0，2）、B（0，-2），設(shè)A，B，M，N四點構(gòu)成的四邊形的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由題意可得$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$與$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{8}{3}$；聯(lián)立兩個式子，解可得a²與b²的值，代入橢圓的方程可得答案；
（2）由（Ⅰ）可得，A、B恰好是橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上下兩個端點，如圖，連接OM、ON，設(shè)直線MN方程為x=my+2，結(jié)合圖形可得-1＜m＜1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+2）y²+4my-4=0，由韋達定理可得|y₁-y₂|的表達式，又由于S=S_△OAM+S_△OBN+S_△OMN，可以將S用m表示出來，令t=m²+1，則1≤t＜2，則S=$\frac{4\sqrt{2}t+8}{{t}^{2}+1}$，
對S求導(dǎo)可得S′＜0，可得面積函數(shù)在[1，2）上單調(diào)遞減，結(jié)合t的范圍即可得S的范圍．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，有e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，①
又由于原點O到橢圓E的右頂點與上頂點所在直線的距離為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，則有$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{8}{3}$，②
聯(lián)立①②可得：a²=8，b²=4，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A、B恰好是橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上下兩個端點，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
如圖，連接OM、ON，設(shè)直線MN方程為x=my+2，
由于M，N均在y軸右側(cè)，則有K_AF＜m＜K_BF，即-1＜m＜1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+2）y²+4my-4=0，
則y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{4}{{m}^{2}+2}$，
則|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{4m}{{m}^{2}+2}）^{2}+\frac{16}{{m}^{2}+2}}$=$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$；
由于M，N均在y軸右側(cè)，則x₁＞0，x₂＞0，
則S=S_△OAM+S_△OBN+S_△OMN=$\frac{1}{2}$×2（x₁+x₂）+$\frac{1}{2}$×2|y₁-y₂|=m（y₁+y₂）+4+|y₁-y₂|
=-$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$+4+$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}+8}{{m}^{2}+2}$，
即S=$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}+8}{{m}^{2}+2}$，令t=m²+1，則1≤t＜2，則S=$\frac{4\sqrt{2}t+8}{{t}^{2}+1}$，
則S′=$\frac{-4\sqrt{2}{t}^{2}-16t+4\sqrt{2}}{（{t}^{2}+1）^{2}}$=-$\frac{4\sqrt{2}（{t}^{2}+2\sqrt{2}t-1）}{（{t}^{2}+1）^{2}}$＜0，故面積函數(shù)在[1，2）單調(diào)遞減，
又由1≤t＜2，則$\frac{16}{3}$＜S≤2$\sqrt{2}$+4，
所以所以面積S的取值范圍是（$\frac{16}{3}$，2$\sqrt{2}$+4]．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力．