Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}是以-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，且a₃=1，記{a_n}的前n項和為T_n，數(shù)列{r_n}滿足r_n=T_n-$\frac{1}{{T}_{n}}$，記數(shù)列{r_n}的最大項為a，最小項為b，則a+b=$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列通項公式求出首項和公比，由此利用等比數(shù)列前n項和公式求出T_n，從而利用極限思想能求出結(jié)果．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是以-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，且a₃=1，
∴${a}_{3}={a}_{1}×（-\frac{1}{2}）^{2}=1$，解得a₁=4，
∴T_n=$\frac{4[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{8}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∵r_n=T_n-$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{8}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$-$\frac{3}{8[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}$，
n→∞時，$（-\frac{1}{2}）^{n}$→0，r_n→$\frac{8}{3}-\frac{3}{8}$=$\frac{55}{24}$，
n=1時，r_n=T₁-$\frac{1}{{T}_{1}}$=4-$\frac{1}{4}$=$\frac{15}{4}$．
n=2時，r_n=${T}_{2}-\frac{1}{{T}_{2}}$=2-$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
∴a=$\frac{15}{4}$，b=$\frac{3}{2}$，a+b=$\frac{15}{4}+\frac{3}{2}$=$\frac{21}{4}$．
故答案為：$\frac{21}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列中最大值、最小值之和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．