10.在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sin2$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$.
(I)求A的值;
(Ⅱ)若a=$\sqrt{3}$,求bc的最大值.

分析 (I)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得8cos2A+2cosA-3=0,從而解得cosA=$\frac{1}{2}$,由A為銳角,即可求得A的值.
(Ⅱ)利用余弦定理及基本不等式即可得:3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,從而得解.

解答 解:(I)∵sin2$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$.
⇒$\frac{1-cos(π-A)}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$,
⇒8cos2A+2cosA-3=0,
∴解得:cosA=$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{4}$(A為銳角,舍去).
∴A=$\frac{π}{3}$.
(Ⅱ)∵A=$\frac{π}{3}$,a=$\sqrt{3}$,
∴由余弦定理可得:3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,
∴bc的最大值為:3.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,余弦定理及基本不等式的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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1.若$\root{4}{4{a}^{2}-4a+1}$=$\root{3}{1-2a}$,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A.a=$\frac{1}{2}$B.a=$\frac{1}{2}$或a=0C.a=0D.a≤$\frac{1}{2}$

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(1)a3=3,q=-2,則a10=-384;
(2)q=2,則$\frac{2{a}_{1}+{a}_{2}}{2{a}_{3}+{a}_{4}}$=$\frac{1}{4}$;
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2.若cos(-820°)=t,則tan(-440°)=( 。
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9.已知命題p:實(shí)數(shù)m滿足:方程$\frac{{x}^{2}}{m-3a}$+$\frac{{y}^{2}}{m-4a}$=1(a>0)表示雙曲線;命題q:實(shí)數(shù)m滿足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,且?p是?q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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10.已知角θ滿足sinθ-2cosθ=0,則$\frac{{cos(\frac{3π}{2}+θ)+4cos(π-θ)}}{{sin(\frac{π}{2}-θ)-sin(π-θ)}}$=( 。
A.-2B.0C.$\frac{2}{3}$D.2

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