Question

10．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$．
（I）求A的值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，求bc的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得8cos²A+2cosA-3=0，從而解得cosA=$\frac{1}{2}$，由A為銳角，即可求得A的值．
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式即可得：3=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，從而得解．

解答 解：（I）∵sin²$\frac{B+C}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$．
⇒$\frac{1-cos（π-A）}{2}$+cos2A=$\frac{1}{4}$，
⇒8cos²A+2cosA-3=0，
∴解得：cosA=$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{4}$（A為銳角，舍去）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，
∴bc的最大值為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．