Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₂=2，S_n為其前n項和，且S_n=

an(n+1)

2

（n∈N^*）．
（1）求a₁的值；
（2）求證：a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2）；
（3）若b_n=a_n•2 -an+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當n=2時，S₂=

a2(2+1)

2

=a₁+a₂，可求a₁，
（2）利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1可得a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2）；
（3）先求出數(shù)列{b_n}的通項，由于該數(shù)列的通項是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構成的新數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)列的和．

解答： （1）解：當n=2時，S₂=

a2(2+1)

2

=a₁+a₂，
∵a₂=2，∴a₁=1．
（2）證明：當n≥2時，S_n-1=

n

2

a_n-1，∴S_n-1=2a_n-1-1，
∴S_n-S_n-1=

n

n-1

a_n-1，
∴a_n=

n

n-1

a_n-1；
（3）解：∵a_n=

n

n-1

a_n-1，
∴

an

an-1

=

n

n-1

∴a_n=a₂•

a3

a2

•…•

an

an-1

=n
n=1時，a₁=1，也滿足，
∴a_n=n；
∴b_n=a_n•2 -an+1=n•2^1-n，
T_n=1×2⁰+2×2^-1+3×2^-2+…+n•2^1-n，
∴

1

2

T_n=1×2^-1+2×2^-2+3×2^-3+…+n•2^-n，
兩式相減整理得T_n=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等比數(shù)列，以及錯位相減法求數(shù)列的和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．