Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足S_n=$\frac{n+3}{2}$-a_n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S_n=3-$\frac{n+3}{n+1}$a_n（n∈N^*）．代入計(jì)算，可得結(jié)論；
（Ⅱ）猜想an=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，（n∈N^*）．然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（Ⅰ） a₁=1，a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{5}{8}$，a₄=$\frac{9}{16}$
（Ⅱ） 由此猜想a_n=$\frac{{2}^{n-1}+1}{{2}^{n}}$．    
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，結(jié)論成立． 
②假設(shè)n=k（k≥2且k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=$\frac{{2}^{k-1}+1}{{2}^{k}}$，
那么n=k+1時(shí)，a_k+1=s_k+1-s_k=$\frac{（k+1）+3}{2}$-a_k+1-$\frac{k+3}{2}$+a_k=$\frac{1}{2}$+a_k-a_k+1，
所以a_k+1=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{{2}^{k-1}+1}{{2}^{k}}}{2}$=$\frac{{2}^{k-1}+{2}^{k-1}+1}{2•{2}^{k}}$=$\frac{{2}^{k}+1}{{2}^{k+1}}$，
這表明n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，
由①②知a_n=$\frac{{2}^{n-1}+1}{{2}^{n}}$（n∈N⁺）成立．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法