Question

12．已知棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，P是過頂點(diǎn)B，D，D₁，B₁圓上的一點(diǎn)，Q為CC₁中點(diǎn)，則PQ與面ABCD所成角余弦值的取值范圍是（　�。�

• A． $[0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{5}}}{5}，1]$
• C． $[\frac{{\sqrt{10}}}{5}，1]$
• D． $[\frac{{\sqrt{15}}}{5}，1]$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連結(jié)BD₁，DB₁，交于點(diǎn)O，過O作B₁D₁的垂線交延長，交$\widehat{{B}_{1}{D}_{1}}$于E，結(jié)合圖形得QE與面ABCD所成角余弦值是PQ與面ABCD所成角余弦值的最小值，過Q作BC的平行線交圓于F，此時(shí)PQ與面ABCD所成角余弦值的取最大值，由此能求出PQ與面ABCD所成角余弦值的取值范圍．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
連結(jié)BD₁，DB₁，交于點(diǎn)O，過O作B₁D₁的垂線交延長，交$\widehat{{B}_{1}{D}_{1}}$于E，
則OE=$\sqrt{3}$，Q（0，2，1），E（1，1，$\sqrt{3}+1$），
$\overrightarrow{QE}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
結(jié)合圖形得QE與面ABCD所成角余弦值是PQ與面ABCD所成角余弦值的最小值，
設(shè)QE與面ABCD所成角為θ，
sinθ=|$\frac{\overrightarrow{QE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{QE}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即PQ與面ABCD所成角余弦值的最小值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
過Q作BC的平行線交圓于F，此時(shí)PQ與面ABCD所成角余弦值的取最大值1，
∴PQ與面ABCD所成角余弦值的取值范圍是[$\frac{\sqrt{10}}{5}$，1]．
故選：c．

點(diǎn)評 本題考查線面角的余弦值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想和空間間線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．