Question

17．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+a|x-a|+1，x∈R
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）滿足：f（0）=0，試求實數(shù)a的值
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），試求函數(shù)g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入函數(shù)f（x）的表達式，得到a²+1=0，判斷即可；（2）通過討論a的范圍，分情況把f（a）的最小值表示出來即可．

解答 解：（1）由f（0）=0，得：f（0）=a|0-a|+1=0，
解得：a=-1；
（2）當x≥a時，f（x）=x²+ax+1-a²，對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
若a≤-$\frac{a}{2}$即a≤0時，f（x）min=f（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$+1-a²=1-$\frac{5}{4}$a²，
若a＞-$\frac{a}{2}$即a＞0時，f（x）min=f（a）=a²+1，
當x＜a時，f（x）=x²-ax+a²+2，對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
若a≤$\frac{a}{2}$即a≤0時，f（x）＞f（a）=a²+1，
若a＞$\frac{a}{2}$即a＞0時，f（x）min=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{3}{4}$a²+1，
a≤0時，（a²+1）-（1-$\frac{5}{4}$a²）=$\frac{9}{4}$a²≥0，
∴f（x）_min=1-$\frac{5}{4}$a²，
a＞0時，（a²+1）-（$\frac{3}{4}$a²+1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，
∴f（x）_min=$\frac{3}{4}$a²+1，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{\frac{5}{4}a}^{2}，a≤0}\\{{\frac{3}{4}a}^{2}+1，a＞0}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性和最值得求法，屬于中檔題．