Question

20．（1）函數(shù)y=lg（3-4x+x²）的定義域為A，當(dāng)x∈A時，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最值．
（2）已知函數(shù)f（x）=log_0.5（x²-ax-a）的值域為R，且f（x）在（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由真數(shù)式大于0，可得集合A，t=2^x，則t∈（0，2）∪（8，+∞），結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案；
（2）若函數(shù)f（x）=log_0.5（x²-ax-a）的值域為R，則△=a²+4a≥0，若f（x）在（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是增函數(shù)，則t=x²-ax-a在（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，且恒為正，分別求出滿足條件的a的范圍，求其交集，可得答案．

解答 解：（1）由3-4x+x²＞0得：x∈（-∞，1）∪（3，+∞），
故A=（-∞，1）∪（3，+∞），
令t=2^x，則t∈（0，2）∪（8，+∞），
則y=2^x+2-3×4^x=-3t²+4t，
當(dāng)t=$\frac{2}{3}$時，函數(shù)取最大值$\frac{4}{3}$，無最小值；
（2）若函數(shù)f（x）=log_0.5（x²-ax-a）的值域為R，
則△=a²+4a≥0，解得：a∈（-∞，-4）∪（0，+∞），
若f（x）在（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是增函數(shù)，
則t=x²-ax-a在（-∞，1-$\sqrt{3}$）上是減函數(shù)，且恒為正，
故$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}≥1-\sqrt{3}\\（1-\sqrt{3}）^{2}-a（1-\sqrt{3}）-a≥0\end{array}\right.$，
解得：a∈[2-2$\sqrt{3}$，2]，
綜上可得：a∈（0，2]．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的定義域，函數(shù)的最值，難度中檔．