Question

20．大氣能見度和霧霾、降雨等天氣情況密切相關(guān)，而大氣能見度直接影響車輛的行車速度V（千米/小時）和道路的車流密度M（輛/千米），經(jīng)有關(guān)部門長時間對某道路研究得出，大氣能見度不足100米時，為保證安全，道路應(yīng)采取封閉措施，能見度達(dá)到100米后，車輛的行車速度V和大氣能見度x（米）近似滿足函數(shù)V（x）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{10}x+10，100≤x＜800}\\{90，x≥800}\end{array}\right.$，已知道路的車流密度M（輛/千米）是大氣能見度x（米）的一次函數(shù)，能見度為100時，車流密度為160；當(dāng)能見度為500時，車流密度為為80．
（1）當(dāng)x≥100時，求道路車流密度M與大氣能見度x的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)車流量F（x）的解析式（車流量=行車速度×車流密度）；
（3）當(dāng)大氣能見度為多少時，車流密度會達(dá)到最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求道路車流密度M與大氣能見度x的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意，函數(shù)F（x）表達(dá)式為分段函數(shù)的形式；
（3）由（2），分段求最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)道路車流密度M與大氣能見度x的函數(shù)解析式為M（x）=kx+b，
由題意，$\left\{\begin{array}{l}{100k+b=160}\\{500k+b=80}\end{array}\right.$，∴k=-$\frac{1}{5}$，b=180，
∴M（x）=-$\frac{1}{5}$x+180，x≥100；
（2）∵車流量=行車速度×車流密度，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{10}x+10）（-\frac{1}{5}x+180）=-\frac{1}{50}{x}^{2}+16x+1800，100≤x＜800}\\{90（-\frac{1}{5}x+180）=-18x+16200，x≥800}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)100≤x＜800時，F(xiàn)（x）=-$\frac{1}{50}$（x-400）²+5000，
當(dāng)x=400時，其最大值為5000，
當(dāng)x≥800時，F(xiàn)（x）=-18x+16200為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=800時，其最大值為1800．
綜上，當(dāng)大氣能見度為400米時，車流密度會達(dá)到最大值，最大值為5000輛/小時．

點評 本題給出車流密度的實際問題，求車流密度最大值及相應(yīng)的車流密度，著重考查了函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．