Question

10．設(shè)k∈N₊，f：N₊→N₊滿足：（1）f（x）嚴(yán)格遞增；（2）對(duì)任意n∈N₊，有f[f（n）]=kn，求證：對(duì)任意n∈N₊，都有$\frac{2k}{k+1}$n≤f（n）≤$\frac{k+1}{2}$n．

Answer 1

分析 由題意可得f（n）=an+b，a＞0，求得，$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=\sqrt{k}}\end{array}\right.$，故f（n）=$\sqrt{k}$n，再利用基本不等式證得要證的不等式成立．

解答 解：由題意可得，可設(shè)f（n）=an+b，a＞0，則f[f（n）]=a（an+b）+b=a²•n+ab+b，
再根據(jù)f[f（n）]=kn，可得$\left\{\begin{array}{l}{ab+b=0}\\{{a}^{2}=k}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=\sqrt{k}}\end{array}\right.$，故f（n）=$\sqrt{k}$n．
要證不等式$\frac{2k}{k+1}$n≤f（n）≤$\frac{k+1}{2}$n，即證$\frac{2k}{k+1}$≤$\sqrt{k}$≤$\frac{k+1}{2}$．
再利用基本不等式可得$\frac{2k}{k+1}$≤$\sqrt{k}$≤$\frac{k+1}{2}$ 恒成立，
故要證的不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，判斷f（n）=an+b，a＞0，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．