Question

如圖，已知連接橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）的四個頂點得到的菱形的面積為2

2

，設A（0，1），B（0，-1），過橢圓的右頂點C的直線l與橢圓交于點D（點D不同于點C），交y軸于點P（點P不同于坐標原點O），直線AD與BC交于點Q．
（1）求a的值；
（2）判斷

OP

•

OQ

是否為定值，并證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出4×

1

2

×a×1=2

2

，由此能求出a=

2

．
（2）橢圓方程為

x2

2

+y2=1，其右頂點為C（

2

，0），設直線CD：y=k（x-

2

），聯(lián)立直線CD和橢圓的方程，得：（1+2k²）x²-4

2

k²x+4k²-2=0，由此能推導出

OP

•

OQ

為定值1．

解答： 解：（1）∵連接橢圓

x2

a2

+y²=1（a＞1）的四個頂點得到的菱形的面積為2

2

，
∴4×

1

2

×a×1=2

2

，
解得a=

2

．
（2）

OP

•

OQ

為定值，證明如下：
由（1）知橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
其右頂點為C（

2

，0），
設直線CD：y=k（x-

2

），k≠0，
則點P的坐標為（0，-

2

k），
聯(lián)立直線CD和橢圓的方程，得：（1+2k²）x²-4

2

k²x+4k²-2=0，
由韋達定理，得xC•xD=

4k2-2

1+2k2

，
∴xD=

2 2 k2- 2

1+2k2

，
設點Q的坐標為（x′，y′），直線BC的方程為：y=

1

2

(x-

2

)，
A、Q、D三點共線，
則

y′= 1 2 (x′- 2 ) y′-1 x′ = y0-1 x0

，
∴

y′-1

y′+1

=

2 (y0-1)

x0

=

2 [k(x0- 2 )-1]

x0

=

2 k+1

1- 2 k

，
解得y′=-

1

2 k

，
則

OP

•

OQ

=（0，-

2

k）•（x′，-

1

2 k

）=1，
∴

OP

•

OQ

為定值1．

點評：本題考查橢圓中參數(shù)的求法，考查向量的數(shù)量積是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．