Question

5．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)x₁和年銷售量y₁（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．

$\overrightarrow x$	$\overrightarrow y$	$\overrightarrow w$	$\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^n{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$	$\sum_{i=1}^n{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w₁=$\sqrt{x}$₁，$\overrightarrow w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^n{w_i}$
（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x．根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：
（1）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？
（2）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：$\widehatβ$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline{v）}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\widehatα$=$\overline v$-$\widehatβ\overline u$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖，即可判斷出，
（Ⅱ）先建立中間量$w=\sqrt{x}$，建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w，問題得以解決；
（Ⅲ）（i）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，代入到回歸方程，計(jì)算即可，
（ii）求出預(yù)報(bào)值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散點(diǎn)圖可以判斷，$y=c+d\sqrt{x}$適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費(fèi)用x的回歸方程類型．…（2分）
（Ⅱ）令$w=\sqrt{x}$，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于$\widehatd=\frac{{\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}}}$=$\frac{108.8}{16}=68$，
∴$\widehatc=\overline y-\widehatd\overline w$=563-68×6.8=100.6．
∴y關(guān)于w的線性回歸方程為$\widehaty=100.6+68w$，
∴y關(guān)于x的回歸方程為$\widehaty=100.6+68\sqrt{x}$．…（6分）
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值$\widehaty=100.6+68\sqrt{49}$=576.6，$\widehatz=576.6×0.2-49=66.32$．…（9分）
（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報(bào)值$\widehatz=0.2（100.6+68\sqrt{x}）-x=-x+13.6\sqrt{x}+20.12$，
∴當(dāng)$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}=6.8$，即x=46.24時(shí)，$\widehatz$取得最大值．
故宣傳費(fèi)用為46.24千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了線性回歸方程和散點(diǎn)圖的問題，準(zhǔn)確的計(jì)算是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．