Question

3．已知P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3，…）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右支上，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且滿足P₁F₂⊥F₁F₂，|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，則數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n=（　　）

• A． 4n-2
• B． 4n-1
• C． $\frac{8n+1}{3}$
• D． $\frac{8n-1}{3}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，準(zhǔn)線方程，由題意可得x₁=3，由|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，運(yùn)用雙曲線的第二定義可得e（x_n+1-$\frac{4}{3}$）=e（x_n+$\frac{4}{3}$），即有x_n+1-x_n=$\frac{8}{3}$，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，
e=$\frac{3}{2}$，準(zhǔn)線方程為x=±$\frac{4}{3}$，
由P₁F₂⊥F₁F₂，可得x₁=3，
又|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，即為
e（x_n+1-$\frac{4}{3}$）=e（x_n+$\frac{4}{3}$）
即有x_n+1-x_n=$\frac{8}{3}$，
即有數(shù)列{x_n}為首項(xiàng)為3，公差為$\frac{8}{3}$的等差數(shù)列，
可得數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式x_n=3+$\frac{8}{3}$（n-1）=$\frac{8n+1}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．