Question

7．對任意正整數(shù)n，設(shè)a_n是方程x²+$\frac{x}{n}$=1的正根．求證：
（1）a_n+1＞a_n；
（2）$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{3{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{n{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）解方程可得a_n=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$，再由分子有理化，結(jié)合$\frac{1}{2n}$，$\frac{1}{4{n}^{2}}$在n∈N^*上遞減，即可得證；
（2）求出$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$，分析法可得$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$＜$\frac{1}{n-1}$，累加并運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）a_n是方程x²+$\frac{x}{n}$=1的正根，
解得a_n=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$，
由分子有理化，可得a_n=$\frac{2n}{\sqrt{1+4{n}^{2}}+1}$
=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4{n}^{2}}}+\frac{1}{2n}}$，
由$\frac{1}{2n}$，$\frac{1}{4{n}^{2}}$在n∈N^*上遞減，
可得a_n為遞增數(shù)列，
即為a_n+1＞a_n；
（2）證明：由a_n=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$，可得
$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$，
由$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$＜$\frac{1}{n-1}$?2n-1＜$\sqrt{1+4{n}^{2}}$
?1+4n²-4n＜1+4n²?-4n＜0，顯然成立，
即有$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{3{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{n{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$
＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查數(shù)列的單調(diào)性的證明，考查不等式的證明，注意運(yùn)用放縮法，考查推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．