分析 (1)解方程可得an=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$,再由分子有理化,結(jié)合$\frac{1}{2n}$,$\frac{1}{4{n}^{2}}$在n∈N*上遞減,即可得證;
(2)求出$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$,分析法可得$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$<$\frac{1}{n-1}$,累加并運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得證.
解答 解:(1)an是方程x2+$\frac{x}{n}$=1的正根,
解得an=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$,
由分子有理化,可得an=$\frac{2n}{\sqrt{1+4{n}^{2}}+1}$
=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4{n}^{2}}}+\frac{1}{2n}}$,
由$\frac{1}{2n}$,$\frac{1}{4{n}^{2}}$在n∈N*上遞減,
可得an為遞增數(shù)列,
即為an+1>an;
(2)證明:由an=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$,可得
$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$,
由$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$<$\frac{1}{n-1}$?2n-1<$\sqrt{1+4{n}^{2}}$
?1+4n2-4n<1+4n2?-4n<0,顯然成立,
即有$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{3{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{n{a}_{n}}$<1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$
<1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$.
點評 本題考查數(shù)列的單調(diào)性的證明,考查不等式的證明,注意運(yùn)用放縮法,考查推理能力和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 8 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{8}$ |
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A. | {x|2≤x<3} | B. | {x|2<x<3} | C. | {x|x≥3} | D. | {x|2<x≤3} |
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A. | 3 | B. | 4 | C. | 5 | D. | 6 |
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