Question

17．設(shè)向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（sin$\frac{nπ}{3}$，cos$\frac{nπ}{3}$），$\overrightarrow{_{n}}$=（sin$\frac{nπ}{4}$，cos$\frac{nπ}{4}$）（n∈N₊），則$\sum_{n=1}^{12}$（$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{_{n}}$）=-1．

Answer 1

分析 化簡$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{_{n}}$=cos$\frac{nπ}{12}$．于是根據(jù)誘導(dǎo)公式可得$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{11}}•\overrightarrow{_{11}}$=$\overrightarrow{{a}_{2}}•\overrightarrow{_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{10}}•\overrightarrow{_{10}}$=$\overrightarrow{{a}_{3}}•\overrightarrow{_{3}}$+$\overrightarrow{{a}_{9}}•\overrightarrow{_{9}}$=…=$\overrightarrow{{a}_{5}}•\overrightarrow{_{5}}$+$\overrightarrow{{a}_{7}}•\overrightarrow{_{7}}$=0，所以$\sum_{n=1}^{12}$（$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{_{n}}$）=$\overrightarrow{{a}_{6}}•\overrightarrow{_{6}}$+$\overrightarrow{{a}_{12}}•\overrightarrow{_{12}}$=cos$\frac{π}{2}$+cosπ=-1．

解答 解：$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{_{n}}$=sin$\frac{nπ}{3}$sin$\frac{nπ}{4}$+cos$\frac{nπ}{3}$cos$\frac{nπ}{4}$=cos（$\frac{nπ}{3}$-$\frac{nπ}{4}$）=cos$\frac{nπ}{12}$．
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{11}}•\overrightarrow{_{11}}$=cos$\frac{π}{12}$+cos$\frac{11π}{12}$=0，同理，$\overrightarrow{{a}_{2}}•\overrightarrow{_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{10}}•\overrightarrow{_{10}}$=0，$\overrightarrow{{a}_{3}}•\overrightarrow{_{3}}$+$\overrightarrow{{a}_{9}}•\overrightarrow{_{9}}$=0，…$\overrightarrow{{a}_{5}}•\overrightarrow{_{5}}$+$\overrightarrow{{a}_{7}}•\overrightarrow{_{7}}$=0．
∴$\sum_{n=1}^{12}$（$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{_{n}}$）=$\overrightarrow{{a}_{6}}•\overrightarrow{_{6}}$+$\overrightarrow{{a}_{12}}•\overrightarrow{_{12}}$=cos$\frac{π}{2}$+cosπ=-1．
故答案為-1．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，誘導(dǎo)公式，平面向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．