Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$，則cos（α-β）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由向量模的計(jì)算公式可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，結(jié)合數(shù)量積的計(jì)算公式可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，又由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}$，結(jié)合余弦的差角公式可得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}$，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），則|$\overrightarrow$|=1，
又由＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
而$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosαcosβ+sinαsinβ，
則有cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}$，
故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算以及余弦的和角公式，關(guān)鍵利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與余弦差角公式的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．