Question

19．如圖，△ABO三邊上的點(diǎn)C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．
（l）求證：直線AB與⊙O相切；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=$\frac{1}{3}$，求AO的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，OC⊥AB，推導(dǎo)出OA=OB，OC⊥AB，由此能證明直線AB與⊙O相切．
（2）延長DO交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)FC，由弦切角定理得△ACD∽△AFC，從而$\frac{CD}{PC}$=$\frac{1}{3}$，由此能求出AO的長．

解答 證明：（1）∵AB∥DE，∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}$，又OD=OE，∴OA=OB，
如圖，連結(jié)OC，∵AC=CB，∴OC⊥AB，
又點(diǎn)C在⊙O上，∴直線AB與⊙O相切．
解：（2）如圖，延長DO交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)FC，
由（1）知AB是⊙O的切線，∴弦切角∠ACD=∠F，
∴△ACD∽△AFC，∴tan∠ACD=tan∠F=$\frac{1}{3}$，
又∠DCF=90°，∴$\frac{CD}{PC}$=$\frac{1}{3}$，
∵AD=2，∴AC=6，
又AC²=AD•AF，∴2（2+2r）=6²，∴r=8，
∴AO=2+8=10．

點(diǎn)評 本題考查線與圓相切的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的簡單運(yùn)用．