Question

13．己知拋物線y²=2px（p＞0）上兩個動點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O為坐標原點，OA⊥OB．
（1）求線段AB中點的軌跡方程；
（2）若在C上的點到直線x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0的距離為d，求d的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB：x=my+n，代入拋物線方程，可得y²-2pmy-2pn=0，利用OA⊥OB，得到n=2p，再由根與系數(shù)的關(guān)系得到A、B兩點的橫縱坐標的和，由中點坐標公式可得線段AB中點的軌跡方程；
（2）設(shè)出與直線x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0平行的直線方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由判別式等于0得到所求拋物線的切線方程，再由兩平行線間的距離公式得答案．

解答 解：（1）設(shè)直線AB：x=my+n．
代入拋物線方程，可得y²-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，則n=2p，
又y₁+y₂=2pm，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2n=2pm²+4p．
設(shè)AB中點M（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=p{m}^{2}+2p}\\{y=pm}\end{array}\right.$，消去m得：y²=px-2p²．
∴線段AB中點的軌跡方程為y²=px-2p²；
（2）設(shè)與直線x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0平行的直線方程為x-2y+t=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=px-2{p}^{2}}\\{x-2y+t=0}\end{array}\right.$，得y²-2py+pt+2p²=0．
由△=4p²-4pt-8p²=0，解得：t=-p．
∴與直線x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0平行的直線方程為x-2y-p=0．
則C上的點到直線x-2y+2$\sqrt{5}$-p=0的距離d的最小值為$\frac{|2\sqrt{5}-p+p|}{\sqrt{5}}=2$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了兩平行線間的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．