Question

13．設a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=e^2x+|e^x-a|（x∈R）．
（1）求證；f（x）不是奇函數(shù)；
（2）當a≤0時，解關于x的不等式 f（x）＞a²；
（3）求函數(shù)f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）利用反證法，假設f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），推出矛盾結果，即可證明函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）當a≤0，e^2x+|e^x-a|=e^2x+e^x-a＞a²，然后解不等式f（x）＞a²，求出x的取值范圍；
（3）通過當a≤0，0$≤a≤\frac{1}{2}$，a$≥\frac{1}{2}$，分別求函數(shù)f（x）的值域（用a表示）即可．

解答 （1）證明：假設f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
而x∈R，則f（0）=0，而f（0）=e⁰+|e⁰-a|=1+|1-a|≠0，故假設不成立，
從而函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．
（2）當a≤0，e^2x+|e^x-a|=e^2x+e^x-a＞a²
則（e^x-a）（e^x+a+1）＞0，
而（e^x-a）＞0，則e^x＞-a-1，
當a∈[-1，0）時，不等式的解為：x∈R．
當a＜-1時，不等式的解為：x＞ln[-（a+1）]；
 （3）設e^x=t，則t＞0，y=f（x）=t²+|t-a|，
當a≤0時，y=f（x）=t²+t-a在t＞0時單調(diào)增，則f（x）＞f（0）=-a；
當0$≤a≤\frac{1}{2}$時，y=f（x）=t²+t-a≥f（a）=a²；
當a$≥\frac{1}{2}$時，y=f（x）=t²+t-a≥f（$\frac{1}{2}$）=a-$\frac{1}{4}$；
故當a≤0時，f（x）的值域為（-a，+∞）；
當0$≤a≤\frac{1}{2}$時，f（x）的值域為[a²，+∞）；
當a$≥\frac{1}{2}$時，f（x）的值域為[a-$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，函數(shù)的值域的求法，分類討論思想的應用，考查轉(zhuǎn)化思想計算能力．