Question

3．如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB₁上的一點(diǎn)．
（1）求證：B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）求證：MD⊥AC；
（3）是否存在點(diǎn)M，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D？若存在，試確定點(diǎn)M的位置，并給出證明；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）容易說(shuō)明B₁D₁∥BD，從而根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理得出B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）可以得到AC⊥BB₁，而根據(jù)條件AC⊥BD，從而可得到AC⊥平面BB₁D，從而便得出MD⊥AC；
（3）可以看出當(dāng)M為棱BB₁的中點(diǎn)時(shí)，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D，可取DC的中點(diǎn)N，D₁C₁的中點(diǎn)N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM，BN，B₁N₁，可以說(shuō)明O為NN₁的中點(diǎn)，四邊形CC₁N₁N為平行四邊形，從而得出MO∥BN，而容易說(shuō)明BN⊥平面CC₁D₁D，從而有MO⊥平面CC₁D₁D，從而便可得出平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

解答 解：（1）證明：由幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱；
∴BB₁∥DD₁，BB₁=DD₁；
∴四邊形BB₁D₁D是平行四邊形；
∴B₁D₁∥BD，BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD；
∴B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）證明：∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD；
∴BB₁⊥AC；
又∵DB⊥AC，即AC⊥DB，且BB₁∩DB=B；
∴AC⊥平面BB₁D，MD?平面BB₁D；
∴MD⊥AC；
（3）當(dāng)點(diǎn)M為棱BB₁的中點(diǎn)時(shí)，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D，證明如下：
如圖，取DC的中點(diǎn)N，D₁C₁的中點(diǎn)N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM，BN，B₁N₁；

∵N是DC的中點(diǎn)，BD=BC；
∴BN⊥DC；
又∵CC₁⊥平面ABCD，BN?平面ABCD；
∴BN⊥CC₁，CC₁∩DC=C；
∴BN⊥平面DCC₁D₁；
C₁N₁=DN，∴△C₁N₁O≌△DNO；
∴O是NN₁的中點(diǎn)，且四邊形BB₁N₁N是平行四邊形；
∴BN∥OM；
∴OM⊥平面CC₁D₁D；
∵OM?平面DMC₁；
∴平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D；
即存在點(diǎn)M為BB₁的中點(diǎn)，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

點(diǎn)評(píng) 考查平行四邊形的定義，線(xiàn)面平行的判定定理，線(xiàn)面垂直的判定定理，三角形全等的概念，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，以及面面垂直的判定定理．