Question

8．設A是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）在第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)為其右焦點，點A關于原點O的對稱點為B，AF⊥BF，設∠ABF=$\frac{π}{6}$則雙曲線離心率是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 確定△AOF是等邊三角形，可得A（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1，化簡，即可求出雙曲線離心率．

解答 解：∵點A關于原點O的對稱點為B，
∴OA=OB，
∵AF⊥BF，∠ABF=$\frac{π}{6}$，
∴△AOF是等邊三角形，
∴A（$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1，
∴b²c²-3a²c²=4a²b²，
∴（c²-a²）c²-3a²c²=4a²（c²-a²），
∴e⁴-8e²+4=0，
∵e＞1，∴e=$\sqrt{3}$+1．
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查雙曲線離心率，考查雙曲線方程的運用，確定A的坐標是關鍵．