Question

4．設函數(shù)f（x）=log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{x}{3}$•log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{x}{9}$．
（1）求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[1，9]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對數(shù)的運算法則，結合配方法，求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）由x∈[1，9]，可得log${\;}_{\sqrt{3}}$x∈[0，3]，函數(shù)單調遞減，即可求f（x）在區(qū)間[1，9]上的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{x}{3}$•log${\;}_{\sqrt{3}}$$\frac{x}{9}$=（log${\;}_{\sqrt{3}}$x-2）•（log${\;}_{\sqrt{3}}$x-4）=（log${\;}_{\sqrt{3}}$x-3）²-1
由log${\;}_{\sqrt{3}}$x≤3，可得0＜x≤3$\sqrt{3}$，∴f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，3$\sqrt{3}$]；
（2）由x∈[1，9]，可得log${\;}_{\sqrt{3}}$x∈[0，4]，當log${\;}_{\sqrt{3}}$x∈[0，3]時函數(shù)f（x）單調遞減，
∴f（x）在區(qū)間[1，9]上的取值范圍是[-1，8]．

點評 本題考查對數(shù)的運算法則，函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．