Question

7．某廠每月生產(chǎn)一種投影儀的固定成本為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺(tái)，需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函數(shù)為R（x）=5x-$\frac{x^2}{2}$（萬元）（0≤x≤5），其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）．
（1）求月銷售利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量x（百臺(tái)）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，銷售利潤(rùn)可達(dá)到最大？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

分析 （1）分類討論：①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，②當(dāng)x＞5時(shí)，分別寫出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，最后利用分段函數(shù)的形式寫出所求函數(shù)解析式即可；
（2）分別求出當(dāng)0≤x≤5時(shí)，及當(dāng)x＞5時(shí)，f（x）的最大值，最后綜上所述，當(dāng)x為多少時(shí)，f（x）有最大值．

解答 解：（1）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，投影儀能售出x百臺(tái)；
當(dāng)x＞5時(shí)，只能售出5百臺(tái)，這時(shí)成本為（0.5+0.25x）萬元．…（2分）
依題意可得利潤(rùn)函數(shù)為y=R（x）-（0.5+0.25x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（5x-\frac{x^2}{2}）-（0.5+0.25x），（0≤x≤5）}\\{（5×5-\frac{5^2}{2}）-（0.5+0.25x），（x＞5）}\end{array}}\right.$…（5分）
即   $y=\left\{{\begin{array}{l}{4.75x-\frac{x^2}{2}-0.5，（0≤x≤5）}\\{12-0.25x，（x＞5）}\end{array}}\right.$．…（7分）
（2）顯然，y|_x＞5＜y|_x=5；…（8分）
又當(dāng)0≤x≤5時(shí)，$y=-\frac{1}{2}{（x-4.75）^2}+\frac{1}{2}×{4.75^2}-0.5$…（10分）
∴當(dāng)x=4.75（百臺(tái)）時(shí)有${y_{max}}=\frac{1}{2}×{4.75^2}-0.5=10.78125$（萬元）
即當(dāng)月產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)可獲得最大利潤(rùn)10.78125萬元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，屬于基礎(chǔ)題．函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個(gè)函數(shù)的最小值．