Question

8．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為單位向量，非零向量$\overrightarrow$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，x，y∈R，若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為$\frac{π}{6}$，則$\frac{|\overrightarrow|}{|x|}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量數(shù)量積的公式進行化簡求解，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為單位向量，非零向量$\overrightarrow$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，x，y∈R，若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為$\frac{π}{6}$，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=|$\overrightarrow{{e}_{1}}$||$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則|$\overrightarrow$|²=（x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=x²+y²+2xy$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{3}xy}$，
則$\frac{|\overrightarrow|}{|x|}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{3}xy}}{|x|}$=$\sqrt{1+（\frac{y}{x}）^{2}+\sqrt{3}（\frac{y}{x}）}$=$\sqrt{（\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$$≥\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$時，取等號，
故選：B

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，求出對應(yīng)的向量長度，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．