Question

11．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿足a²+c²=b²+ac．
（1）求∠B的大��；
（2）若b=$\sqrt{7}$，a+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知即余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可求B的值．
（2）根據(jù)余弦定理將b=$\sqrt{7}$，a+c=4代入求出ac的值，再由三角形的面積公式可求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵a²+c²=b²+ac．
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）在△ABC中，由余弦定理得：
b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-2ac•cosB
將b=$\sqrt{7}$，a+c=4代入整理得ac=3
故S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3}{2}$sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，在求值時(shí)經(jīng)常用到邊和角的相互轉(zhuǎn)化，屬于基本知識(shí)的考查．