Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1=5a_n-6a_n-1（n≥2），且a₁=1，a₂=4，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 a_n+1=5a_n-6a_n-1（n≥2），變形為a_n+1-3a_n=2（a_n-3a_n-1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，a_n+1-3a_n=2^n-1．變形為${a}_{n+1}+{2}^{n}$=3$（{a}_{n}+{2}^{n-1}）$，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=5a_n-6a_n-1（n≥2），
∴a_n+1-3a_n=2（a_n-3a_n-1），
∴數(shù)列{a_n+1-3a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為a₂-3a₁，即為1．
∴a_n+1-3a_n=2^n-1．
變形為${a}_{n+1}+{2}^{n}$=3$（{a}_{n}+{2}^{n-1}）$，
∴數(shù)列$\{{a}_{n}+{2}^{n-1}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3．
∴a_n+2^n-1=2×3^n-1，
化為a_n=2×3^n-1-2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了變形利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．