Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）奇偶性；
（2）求證：f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{{4}^{x}-m}{{2}^{x}+1}$在[-2，2]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)奇偶性的定義得f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），得出函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義運(yùn)用作差比較法證明單調(diào)性；
（3）運(yùn)用分離參數(shù)法配方法求m=4^x-2^x+1的值域即可．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)，證明如下：
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
所以，f（x）為R上的奇函數(shù)；
（2）f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{2^x+1}$，單調(diào)遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=2[$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$]
=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$＜0，
所以，f（x₁）＜f（x₂），
因此，f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）g（x）=f（x）-$\frac{{4}^{x}-m}{{2}^{x}+1}$=$\frac{-4^x+2^x+m-1}{2^x+1}$，
要使得g（x）在[-2，2]上有零點(diǎn)，
則方程-4^x+2^x+m-1=0在[-2，2]有解，其中2x∈[$\frac{1}{4}$，4]，
分離m得，m=4^x-2^x+1=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$∈[$\frac{3}{4}$，13]，
因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[$\frac{3}{4}$，13]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷與證明，以及函數(shù)零點(diǎn)的確定，運(yùn)用了作差比較法和等價(jià)轉(zhuǎn)化的解題思想，屬于中檔題．