Question

18．在直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)．
（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）先利用三角函數(shù)的差角公式展開曲線C的極坐標(biāo)方程的左式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．
（2）先在直角坐標(biāo)系中算出中點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系求出其極坐標(biāo)和直線OP的極坐標(biāo)方程即可．

解答 解：（1）由ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1得ρ（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）=1，
從而C的直角坐標(biāo)方程為
$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=1
即
x+$\sqrt{3}$y=2
θ=0時(shí)，ρ=2，所以M（2，0）
θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，ρ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{π}{2}$）；
（2）M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（2，0）
N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{π}{6}$），
所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{6}$，ρ∈（-∞，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．