Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0，求
（1）函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）方程f（x）=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系即可得到結(jié)論；
（2）確定函數(shù)的單調(diào)性，極大值，即可求出方程f（x）=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d圖象經(jīng)過(guò)（0，2）點(diǎn)，
∴f（0）=2得d=2，
∵在x=-1處的切線為6x-y+7=0，
∴解得y=1，即 切點(diǎn)（-1，1）代入f（x）中得-1+b-c+2=1，即b=c，
切線斜率k=6，即f′（-1）=6，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2bx+c，即f′（-1）=3-2b+c=6，
解得b=c=-3，
則f（x）=x³-3x²-3x+2．
（2）f（x）=x³-3x²-3x+2=0，
∴f′（x）=3x²-6x-3
當(dāng)f′（x）=0時(shí)，3x²-6x-3=0
∴x²-2x-1=0
∴（x-1）²=2
∴x=1±$\sqrt{2}$
令f′（x）＞0，得x＜1-$\sqrt{2}$或x$＞1+\sqrt{2}$
令f′（x）＜0，得1-$\sqrt{2}$＜x＜1-$\sqrt{2}$，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-$\sqrt{2}$），（1+$\sqrt{2}$，+∞），函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．
∵f（1-$\sqrt{2}$）=-3+4$\sqrt{2}$＜0，∴方程f（x）=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的零點(diǎn)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．