Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$過點A（2，3），且F（2，0）為其右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在于行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于$\frac{10\sqrt{13}}{13}$？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓焦點和橢圓定義，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=$\frac{3}{2}x+t$，與橢圓聯(lián)立，得3x²+3tx+t²-12=0，由此利用根的判別式、點到直線的距離公式，能求出結(jié)果方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$過點A（2，3），且F（2，0）為其右焦點，
∴橢圓C的左焦點為F′（-2，0），則|AF|=3，|AF′|=$\sqrt{（-2-2）^{2}+（0-3）^{2}}$=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{2a=3+5}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=4}\end{array}\right.$，∴b²=16-4=12，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（Ⅱ）設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y=$\frac{3}{2}x+t$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，整理，得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直線l與橢圓C有公共點，
∴△=（3t）²-12（t²-12）=-3t²+144≥0，
解得-4$\sqrt{3}≤t≤4\sqrt{3}$，
∵直線OA與l的距離等于$\frac{10\sqrt{13}}{13}$，∴$\frac{|2t|}{\sqrt{9+4}}$=$\frac{10\sqrt{13}}{13}$，故t=±5．
∵±5∈[-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$]，
∴直線l的方程為y=$\frac{3}{2}x-5$或y=$\frac{3}{2}x+5$．

點評 本題考查橢圓方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓定義、根的判別式、點到直線的距離公式的合理運用．